ΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΟΜΗΡΟΥ Α'1.

Η αρχαία ελληνική γλώσσα διαπερνά τους αιώνες ήρεμη και ισχυρή. Την γνωρίσαμε μέσα απ'την αττική διάλεκτο, εφόσον μόνη αυτή διασώθηκε ή μόνο αυτήν δέσωσαν  (κανείς ποτέ δεν θα μάθει). Προστέθηκε και η ινδοευρωπαϊκή θεωρία,  που παραποίησε την προϊστορία. Μπορεί τα θεμέλιά της θεωρίας αυτής να είναι σαθρά ,αλλά πετυχαν κάπως τον στόχο τους κι έτσι μειώθηκαν εκείνοι που ένιωσαν την ανάγκη να διερευνήσουν βαθύτερα στα ήδη βαθιά  μονοπάτια του χρόνου.
 Ο Όμηρος είναι ο επίσημος και μοναδικός σήμερα χωροχρόνος  όπου διασώθηκαν όσες πληροφορίες απ'την παλαιότερη εποχή  κατάφεραν να τρυπώσουν μέσα στους στίχους των δύο επών.  Ανάσες λέξεων απ'τις ελληνικές διαλέκτους ,κυρίως την δωρική -που επιβεβαιώνεται ως η αρχαιότερη- κυκλοφορούν ακόμα μέσα στα ομηρικά λόγια.  Έθιμα, παραδόσεις, τρόποι ενδυμασίας, φιλοξενίας, μάχης,  όπλων και ταξιδιών  ζωντνεύουν στην φαντασία μας . Στοιχεία απ'οσους επικούς κύκλους προηγήθηκαν μας δίνουν εικόνα και γνώμη για τους ήρωες,τους βασιλιάδες-άνακτες  και τ'ανάκτορα που χορήγησαν την ιδέα και την λάμψη ώστε να κατοικήσουν  πλέον  σ'αυτά οι νέοι βασιλιάδες-άνακτες  ,που ήταν  οι θεοί του Ομήρου ,που έγιναν θεοί της Ελλάδας,  θεοί του κόσμου .
 Ο Μέγας Αλέξανδρος αγάπησε τον Όμηρο και τον έκανε οδηγό του γιατί δεν υπήρχε τίποτα πιο παλιό,τίποτα πιο θεϊκό που θα του χάριζε υπερφυσικές δυνάμεις. Οι λέξεις,τα λόγια του Ομήρου είναι ποτισμένες με μυστικά γνώσης-μυστικά που είναι ικανά ν'αλλάξουν για πάντα την ψυχή και το μυαλό του ανθρώπου που επιλέγουν ν'αγγίξουν.
 Συγκέντρωσα κάποιες λέξεις-αυθόρμητα τις συγκέντρωσα- κι έπειτα  διαχώρισα κάποιες που θεώρησα πως η ερμηνεία τους είναι από μόνη της μια μικρή κοσμοθέαση. Σκέφτηκα να τις μοιραστώ και να παρουσιάζω εδώ κάποις απ'το  Α αρχίζοντας. Τις παρουσιάζω πάντως  μ'εναν δικό μου τρόπο :περισσότερο αυθόρμητο και όσο γίνεται λιγότερο τυπικό.
Αγάκλειτος :  (άγαν+ κλέος) είναι ο ξακουστός ,που έχει κερδίσει πολύ κλέος. Προφανώς θα έχει δώσει πολλούς αγώνες με νίκες-οπότε αγαπήθκε άγαν,όπως όλοι οι ξεχωριστοί-τουλάχιστον έτσι θ'άξιζε.
----
Αγάλλομαι : το γνωρίζουμε ότι σημαίνει χαίρομα,ευχαριστιέμαι. Πιο συγκεκριμένα όμως  σημαίνει χαίρομα με υπερηφάνεια. Και βέβαια δεν είναι κακό νά'ναι κανείς περήφανος όταν έχει λόγους να χαίρεται μετά τον κόπο του-κι ας ενοχλούνται οι άλλοι.
----
Αγαμέμνων: ο περίφημος αρχιστράτηγος ,ο  βασιλιάς των Μυκηνών, ο γιός του Ατρέα, ο εγγονός του Πέλοπα. Με τέτοιυς τίτλους πώς να μην είναι κανείς Αγαμέμνων; (άγαν +μίμνω)-που σημαίνει επιμένω πολύ,είμαι μεγαλόφρων,αλλά και ευσταθής και καρτεριός συνάμα.  Έτσι είναι-οφείλει να υπηρετεί καθείς τ' ωραίο όνομά του.
---
Αγάννιφος (άγαν+νίφω) : χιονοσκεπής Είναι το επίθετο του Ολύμπου. Σε πιο άλλο βουνό να έδινε κανείς έναν τόσο επιβλητικό χαρακτηρισμό αν όχι στο βουνό των θεών,το απόλυτο βουνό;
---
Αγανόφρων  (άγαν + φρην ) : αυτός που έχει γλυκιά διάθεση ,που είναι φιλόφρων πολύ κι επιεικής. Τόσο πολύ είχαν οξύνει την παρατηρητικότητα και την ενσυναίσθησή τους εκεινοι οι άνθρωποι που με μια λέξη, έναν χαρακτηρισμό μόνο μπορούσαν να ψυχογραφήσουν ένα άτομο.
---
Αγάρρος (άγαν+ρέω)  : αυτός που έχει ορμητικά νερά. Αυτό το επίθετο δόθηκε στον Ελλήσποντο. Επίθετο πού είναι ήχος ,εικόνα και ιδιότητα συνάμα.
----
Άγη: η άγη είναι το θαύμα και ο θαυμασμός-''άγη μ'έχει''=με κατέχει ο θαυμασμός. Απ'τις κορυφαίες στιγμές της ανθρώπινης ζωής.
---
Αγνός : άξιος θαυμασμού και συνεπώς ιερός. Θεωρώ πως είναι από τις πλέον διαυγείς λέξεις της γλώσσα μας.
---
Αγών :   ο όρος αγών στη αρχαία ελληνική δήλωνε τον τόπο συναγωγής,συνήθως μια πλατεία πριν απ'τους ναούς όπου συγκεντρώνονταν οι προσευχόμενοι άνθρωποι. Μπορεί και οι θεοί -λένε κάποιοι. Μπορεί, Ο καθένας έχει μερίδιο στον αγώνα. Και οι θεοί.
----
Αδάμας  ( α+δαμάζω ): είναι ο αδάμαστος, που δεν διασπάται ,δεν κατακτιέται. Είναι ο χαρακτήρας που χαράζει μα δεν χαράζεται. Ποτέ,από κανέναν.
----
Αεθλοφόρος : πιο όμορφη λέξη -θεωρώ -απ'τη λέξη  νικητής. Έτσι είναι. Πρέπει κανείς  να φέρει τους άθλους του  μονάχος. Και να τους υποφέρει ενίοτε. Έχουν κι οι νίκες ένα βάρος ειδικό.
----
Αήρ : ο κατώτερος και πυκνότερος αήρ,. Αυτή η ατμώδης σφαίρα που υπάρχει  για όλους μας. Η ατμόσφαιρα.
---
Αία : η γη -πατρίς αία =η πατρική γη. Σαν κραυγή βαθιά ηχεί. Μάλλον...ηχούσε.
----
Αιγαίων  : μ'αρέσει πολύ αυτό τόνομα. Είναι ένας θαλάσσιος εκατόγχειρος γίγαντας που συμβολίζει την τρικυμία της θάλασσας. Σίγουρα γιος του Ποσειδώνα.  Λέγεται πως οι άνθρωποι  του έδωσαν τ'όνομα Αιγαίων.  Για τους θεούς ήταν ο Βριάρεως. Ξέρω όμως πως οι καταλήξεις των ονομάτων σε -εω ήταν προϊστορικές. Αναρωτιέμαι ποιο νά 'ταν οι θεοί λοιπόν...
Με την εσκεμμένη  αφορμή αυτού του προβληματισμού θα δώσω το έναυσμα για να ρίξουμε μια διαφορετική ματιά  στα λόγια του Ομήρου. Κι αν αντεχουμε και θέλουμε,θα επανέλθω για την συνέχεια.

Διαβάστε Περισσότερα

Α' Βιβλίο Πολιτείας: Οι συνομιλητές του Σωκράτη και το ιστορικό πλαίσιο

Το πρώτο βιβλίο της Πολιτείας έχει διχάσει τους ερευνητές σε αυτούς που θεωρούν ότι γράφτηκε νωρίτερα από τα υπόλοιπα μέρη της και εν συνεχεία ενσωματώθηκε σε αυτήν ως εισαγωγή και σε εκείνους που θεωρούν ότι τόσο το πρώτο βιβλίο της Πολιτείας όσο και τα υπόλοιπα γράφτηκαν κατά την ίδια περίοδο.  Μεταξύ των ερευνών, που έχουν διενεργηθεί, η πρώτη εκδοχή μοιάζει πιο πιθανή, εκδοχή που επιβεβαιώνεται και από γλωσσολογικές έρευνες, που την τοποθετούν πιο κοντά στα πρώιμα πλατωνικά έργα. Δεδομένων όλων αυτών το πρώτο βιβλίο της Πολιτείας πρέπει να τοποθετηθεί χρονικά περί το 400-390 π.Χ. Ο δραματικός χρόνος του διαλόγου τοποθετείται περί τα 421π.Χ. Κατά συνέπεια, ο Πλάτων προχωρώντας στην συγγραφή του έχει υπόψη του τα γεγονότα που μεσολάβησαν και που καθόρισαν τις εξελίξεις για την Αθήνα της εποχής του τόσο στο πολιτικό επίπεδο όσο και στο πνευματικό.

Διαβάστε Περισσότερα

ΤΟ ΔΟΓΜΑ ΤΗΣ ΙΣΧΥΟΣ: ο Θρασύμαχος και οι "πρόδρομοί" του

Κατά τη διάρκεια του 5ου αι. π.Χ. η αθηναϊκή δημοκρατία μετατράπηκε σε μια ιμπεριαλιστική δύναμη, που είχε έναν και μόνο σκοπό: την κυριαρχία σε άλλες πόλεις. Αυτός ο σκοπός κατέληξε σε αναγκαιότητα, την οποία μπορούμε να αντιληφθούμε φέρνοντας στον νου μας όλα τα μεγαλεπήβολα σχέδια, που οι Αθηναίοι έφεραν σε πέρας κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου αλλά, επίσης, και τις νέες οικονομικές απαιτήσεις, που προέκυψαν από την νέα θεσμική πραγματικότητα. Ο Πελοποννησιακός πόλεμος και ο εσωτερικός αναβρασμός έρχονται ως αποτέλεσμα της πολιτικής αυτού του είδους εμπνέοντας την μετέπειτα κριτική σκέψη. Στην ακόλουθη ανάλυση θα εξεταστούν τρία διαφορετικά γραμματειακά είδη: η τραγωδία Φοίνισσαι τού Ευριπίδη και συγκεκριμένα ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζεται ο Ετεοκλής σε αντίστιξη με τον αδερφό του Πολυνείκη, ο διάλογος των Μηλίων, απόσπασμα από την ιστορία του Θουκυδίδη, και η τοποθέτηση του Θρασύμαχου στην πλατωνική Πολιτεία, έργα, που όπως θα επισημανθεί, τοποθετούνται στην ίδια περίπου χρονική περίοδο. Ο συσχετισμός τους αναφέρεται συχνά στην βιβλιογραφία ως προς το δόγμα της ισχύος, που και στα τρία εμφανίζεται. Σκοπός της παρουσίασης είναι να δειχθεί αφενός ότι το δόγμα αυτό εμφανίζεται με διαφορετικό τρόπο σε κάθε έργο ξεχωριστά, μολονότι η βάση τους παραμένει κοινή, και αφετέρου ότι και στις τρεις περιπτώσεις αποτελεί αντανάκλαση της ίδιας της πραγματικότητας.

Διαβάστε Περισσότερα

Απόσπασμα από την παλινωδία του Σωκράτη για την υπεράσπιση του έρωτα (ΠΛ Φαιδρ 243e–247c)

 

Απόσπασμα από την παλινωδία του Σωκράτη για την υπεράσπιση του έρωτα

 

 

 

ΣΩ. Έχε λοιπόν στο νου σου, όμορφο παιδί μου, πως ο προηγούμενος λόγος ήτανε του Φαίδρου που είναι γιος του Πυθοκλή από το Μυρρινούντα· αυτός όμως που θε να ειπώ τώρα είναι του Στησίχορου, που είναι γιος του Εύφημου από την Ιμέρα.

Και πρέπει να λέη τ' ακόλουθα· πως «δεν είναι αληθινός ο λόγος» που λέει ότι πρέπει να χαρίζεται κανείς πιο πολύ σ' έναν που δεν κατέχεται από έρωτα, την ώρα που έχει μπροστά του έναν εραστή, γιατί τάχα ο ένας είναι μανιακός, ενώ ο άλλος είναι φρόνιμος. Αν βέβαια ήταν απλό να ειπή κανείς πως η μανία είναι κάτι κακό, τότε ο προηγούμενος λόγος θα ήταν καλά ειπωμένος· μα εδώ τα μεγαλύτερα καλά μας έρχονται από τη μανία, που μας χαρίζεται σαν ένα θείο δώρο. Γιατί και η προφήτισσα στους Δελφούς και οι ιέρειες στη Δωδώνη, όταν τις έπιασε η μανία, έκαμαν στην Ελλάδα πολλά και καλά και σε ανθρώπους και σε πόλεις, ενώ όταν ήτανε φρόνιμες έκαμαν λίγα ή και τίποτε. Κι αν βέβαια αρχίσωμε να λέμε και για τη Σίβυλλα και για τους άλλους, όσοι με τη μαντική τέχνη προφήτεψαν πολλά σε πολλούς και τους έκαμαν καλό στο μέλλον τους, θα μακραίναμε το λόγο μας λέγοντας πράγματα φανερά στον καθένα.

Διαβάστε Περισσότερα

Πλάτων Πολιτεία 343a1-348b10

της Ιωάννας Φάφκα

Ο Θρασύμαχος, ο τρίτος κατά σειρά συνομιλητής του Σωκράτη, προέρχεται από τον χώρο της σοφιστικής, για τον οποίο πληροφορίες μπορούμε να αντλήσουμε κυρίως από τους πλατωνικούς διαλόγους, καθώς σχεδόν όλα τα έργα των σοφιστών έχουν χαθεί. Η αρνητική χροιά που πήρε η λέξη «σοφιστής», μια σημασία που δεν πρέπει να ήταν καθιερωμένη[1], προκύπτει από τα πλατωνικά έργα, τα οποία αποσκοπούν στην ανάδειξη της μοναδικότητας του Σωκράτη. Η πλατωνική πολεμική προβάλλει με αρνητικό τρόπο δύο γνωρίσματα των σοφιστών. Ο σοφιστής δεν έχει σταθερό τόπο και σπίτι, είναι περιφερόμενος άπατρις. Επιπλέον, διδάσκει έναντι αμοιβής, είναι «έμμισθος θηρευτής νέων και πλουσίων» (Πλάτων, Σοφιστής 231d, 223b). Ωστόσο, αξίζει να επισημανθεί το γεγονός ότι ο Πλάτωνας δεν υπήρξε σε όλους τους διαλόγους του το ίδιο επικριτικός απέναντι στους εκπροσώπους της σοφιστικής (π.χ. Πρωταγόρας). Για τον Θρασύμαχο γνωρίζουμε ότι καταγόταν από την Χαλκηδόνα και δέχτηκε να μετάσχει στη συζήτηση, αφού του υποσχέθηκαν αμοιβή (337d6-9). Από μεταγενέστερες πηγές πληροφορούμαστε ότι ο θάνατός του, ο θάνατος ενός «σοφού ανθρώπου», όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται, προκάλεσε την θλίψη σε μεγάλη μερίδα Αθηναίων.

Διαβάστε Περισσότερα

Ο Διογένης και ἡ Κόπρος τοῦ Αὐγείου

τοῦ
ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΓΕΩΡ. ΚΑΤΣΟΥΛΗ

-Πτυχιούχου Κλασσικῆς Φιλολογίας
Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν
-Μεταπτυχιακοῦ Ἐφηρμοσμένης Παιδαγωγικῆς
Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν
-Ὑποψηφίου Διδάκτορος Κλασσικῆς Φιλολογίας
Πανεπιστημίου Ἀθηνῶν

Στον 8ο λόγο του ο Δίων ο Χρυσόστομος (έκδ. Dio Chrysostom, Orationes, J. de Arnim, Ed. §35 κ.ε) αναφέρει κάποιο περιστατικό από την διδασκαλία του Διογένους του Κυνικού.

Συγκεκριμένα, ενώ αφηγείται ο φιλόσοφος τον άθλον του Ηρακλέους, όταν εκείνος εκαθάρισεν τήν κόπρον του Αὐγείου, ευθύς μόλις τελειώνει την διδασκαλίαν του κάμνει κάτι από τα πιο παράδοξα στην κοινωνία των ανθρώπων προκαλώντας την δημόσια αιδώ.

Διαβάστε Περισσότερα

Από την Αίγυπτο μέχρι τη Ρωσία...

της Μενελίας Τολόγλου

Πρόβλημα 14, Πάπυρος της Μόσχας

Στη σημερινή εποχή, έχουν ανακαλυφθεί συνολικά πέντε πάπυροι που αποτελούν «αποδείξεις» της μεγαλόπρεπης μαθηματικής επιστήμης των Αιγυπτίων. Ο πρώτος πάπυρος είναι o Πάπυρος του Rhind, που αποτελεί την καλύτερη, σύμφωνα με κάποιους, πηγή πληροφοριών για την Αιγυπτιακή αριθμητική. Οι υπόλοιποι τέσσερις Αιγυπτιακοί πάπυροι, κάπως μικρότερης σημασίας, είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, ο Πάπυρος του Kahun, ο Πάπυρος του Βερολίνου και ο δερμάτινος κύλινδρος. Υπάρχουν, εν γένει, και άλλα πολλά μικρά θραύσματα και εμπορικοί πάπυροι, τα οποία είναι διάσπαρτα σε όλο τον κόσμο, αλλά παρέχουν μια σχετικά μικρή, ελάχιστη πληροφόρηση αναφορικά με τα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι (Bunt, Jones, Bedient, 1988).

Ο πάπυρος της Μόσχας αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα των μαθηματικών των Αιγυπτίων και περιλαμβάνει πρακτικά προβλήματα με τις λύσεις τους. Είναι το δεύτερο πιο σημαντικό μαθηματικό έγγραφο που βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει τον χαρακτήρα και τα επιτεύγματα των Αρχαίων Αιγυπτίων μαθηματικών (Clagett, 1999). Αντίστοιχο παράδειγμα, μεταγενέστερος χρονολογικά, αλλά μεγαλύτερος σε έκταση, αποτελεί και ο πάπυρος του Rhind – Ahmes. Τα προαναφερθέντα είναι αξιόλογα κείμενα που καθιστούν έκδηλο το γεγονός ότι οι Αιγύπτιοι κατείχαν, γενικά, πολύ καλά την αριθμητική και τη γεωμετρική γνώση (Newman,2000).

Ο πάπυρος της Μόσχας ονομάστηκε έτσι από το Μουσείο Καλών Τεχνών Πούσκιν της Μόσχας, όπου βρίσκεται σήμερα. Μολαταύτα, δεν είναι γνωστό το μέρος στο οποίο ανακαλύφθηκε ο πάπυρος (Bunt, Jones, Bedient, 1988). Ο Βλαντιμίρ Γκολενίστσεφ ήταν ο πρώτος ιδιοκτήτης του, ο οποίος ήταν αιγυπτιολόγος. Είναι αριθμημένο με τον αριθμό 4676 στη συλλογή του, αλλά και επίσης είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι η πρώτη πλήρη έκδοση των εικοσιπέντε (25) προβλημάτων που αναφέρονται μέσα στον πάπυρο ήταν εκείνη που προετοιμάστηκε από τον W.W. Struve το 1930 (Clagett, 1999). Όπως αναφέρει ο Clagett (1999) στο βιβλίο του, ο πάπυρος προέρχεται από έναν τάφο που δεν βρίσκεται μακριά από το μέρος στο οποίο ανακαλύφθηκε ο Πάπυρος του Rhind. Ο Γκολενίστσεφ απέκτησε, λοιπόν, τον πάπυρο γύρω στο 1893 στις Θήβες της Αιγύπτου και το μετέφερε στη Μόσχα (Anglin, 1994). Ωστόσο, ο Αιγύπτιος συγγραφέας του παπύρου είναι άγνωστος, αλλά κατά γενική ομολογία θεωρείται ότι το αρχαίο αυτό έγγραφο περιέχει υλικό το οποίο χρονολογείται γύρω στο 1850 π.Χ. (Krebs, 2003), κατά την περίοδο της 13ης Δυναστείας των Φαραώ, ενδιάμεσα στα χρονικά όρια του Μέσου Βασιλείου, και εξαρτάται ως ένα σημείο από την δουλειά που είχε προηγηθεί κατά την περίοδο της 12ης Δυναστείας των Φαραώ (Clagett, 1999). Οι διαστάσεις του αγγίζουν τα 5 μέτρα περίπου μήκος και πλάτος που φτάνει μέχρι τα 7,5 εκατοστά. 

Τα προβλήματα που καταγράφονται με ιερατική γραφή δεν σειροθετούνται με συγκεκριμένο τρόπο, αλλά και οι λύσεις αυτών είναι περιεκτικές σε λεπτομέρειες, συγκριτικά με τον Πάπυρο του Rhind. Ο πάπυρος είναι ευρέως γνωστός για μερικά από αυτά, όπως είναι τα προβλήματα 10 και 14. Σε αυτά υπολογίζεται το εμβαδόν μια επιφάνειας και ο όγκος ενός κόλουρου.

Τα υπόλοιπα προβλήματα μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως εξής (Clagett, 1999):

1, 19, 25: Πρόβλημα Aha. Πρόβλημα που, ενδεχομένως, καθορίζει μια άγνωστη ποσότητα.

2: Υπολογισμός του μήκους μερών ενός πλοίου (συγκεκριμένα το μήκος του πηδαλίου).

3: Υπολογισμός του μήκους μερών ενός πλοίου (συγκεκριμένα το μήκος του καταρτιού).

4: Υπολογισμός του εμβαδού ενός τριγώνου όταν το ύψος και η βάση του είναι γνωστά.

5:Πρόβλημα pesfu. Ένα πρόβλημα που αφορά την ανταλλαγή των 100 καρβελιών ψωμιού με κανάτες μπύρας. Στο πρόβλημα χρησιμοποιείται ως μέσο ανταλλαγής το pesfu. 

6: Υπολογισμός των πλευρών ενός ορθογωνίου, εάν το εμβαδόν του και η σχέση του μήκους προς το πλάτος είναι γνωστή.

7: Υπολογισμός του ύψους και της βάσης ενός τριγώνου, όταν το εμβαδόν του και η σχέση του ύψους με τη βάση του είναι δεδομένη.

8, 9, 12, 13, 15, 16, 20, 22, 24: Προβλήματα pefsu. Ένα πρόβλημα που αφορά ένα συγκεκριμένο ποσό, της Άνω Αιγύπτου, σιτηρών που πρέπει να γίνουν εν μέρει ψωμί και εν μέρει μπύρα.

10: Πρόβλημα γεωμετρίας. Υπολογισμός της επιφάνειας ενός καλαθιού.

11, 23: Πρόβλημα baku. Υπολογισμός της παραγωγής ενός εργαζόμενου.

 14: Πρόβλημα γεωμετρίας. Υπολογισμός του όγκου κόλουρου πυραμίδας.

17: Υπολογισμός του ύψους και της βάσης ενός τριγώνου, όταν το εμβαδόν του και η αναλογία της βάσης του με το ύψος του είναι γνωστή.

18: Ένα πρόβλημα εμβαδού που αφορά το εμβαδόν μιας λωρίδας υφάσματος.

21: Πρόβλημα υπολογισμού που αφορά την προσφορά του ψωμιού.

Πιο αναλυτικά, από τα προβλήματα 2 και 3 που υπολογίζουν το μήκος των μερών ενός πλοίου, το ένα εκτιμά ποιο είναι το μήκος του πηδαλίου και το άλλο ποιο είναι το μήκος του καταρτιού του πλοίου, δεδομένου ότι είναι το 1/3 + 1/5 τους μήκους μια σανίδας φτιαγμένης από κέδρο με μήκος που ανέρχεται σε 30 πήχεις (Clagett, 1999).

Στην άλλη άκρη της διελκυστίνδας, βρίσκονται τα προβλήματα Aha, τα οποία δεν αφορούν διαστάσεις κάποιων αντικειμένων, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αλλά σχετίζονται με την εύρεση μιας άγνωστης ποσότητας. Αυτό, ωστόσο, προϋποθέτει το να δίνεται το σύνολο της ποσότητας και μέρους του. Αυτή η άγνωστη ποσότητα ονομάζεται Aha και θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι αντιστοιχίζεται με τον σημερινό άγνωστο χ. Το όνομα της αντικατοπτρίζει την αρχαία αιγυπτιακή γλώσσα, η οποία είναι παρακλάδι των αφροασιατικών ή χαμιτοσημιτικών γλωσσών και διακρίνεται σε έξι κλάδους. Χαρακτηριστικά προβλήματα Aha από τον Πάπυρο της Μόσχας είναι τα 1, 19, και 25. Εν παραδείγματι, το πρόβλημα 19 ζητά από τον λύτη του να βρει την ποσότητα εκείνη που αν την πάρουμε 1 ½ φορά και προσθέσουμε σε αυτήν τον αριθμό 4 θα μας κάνει 10 (Clagett, 1999).

Ένας σημαντικός αριθμός προβλημάτων (10 από τα 25) που περιλαμβάνονται στον πάπυρο είναι προβλήματα pesfu. Προκειμένου να κατανοηθεί η σημασία τους πρέπει να δούμε το πρακτικό τους υπόβαθρο. Είναι γνωστό, λοιπόν, ότι η παραγωγή του ψωμιού και της μπύρας στην Αίγυπτο μπορεί να εντοπιστεί από τα αρχαιολογικά ευρήματα, καθώς και από παραστάσεις σε τοίχους τάφων, που είναι διακοσμημένοι με σκηνές από την καθημερινή ζωή. Οι αναπαραστάσεις αυτές δείχνουν όλη την διαδικασία της παραγωγής, από το σιτάρι που μαζεύουν οι εργάτες, το ψωμί που πλάθεται και ψήνεται, την προετοιμασία της μπύρας από το ψωμί, την τοποθέτηση της σε ειδικά δοχεία και τέλος την διανομή της παραγωγής. Για να είναι σε θέση να ελέγχουν την παραγωγή, το σιτάρι που διανέμεται πρέπει να έχει ένα συγκεκριμένο ισοδύναμο στη μπύρα και το ψωμί, που είναι μια ορισμένη ποσότητα ψωμιού και μπύρας, γνωστής ποιότητας. Ως εκ τούτου, πρέπει να είναι δυνατό να υπολογιστεί πόσα καρβέλια ψωμιού μπορούν να ψηθούν με ένα δεδομένο ποσό σιτηρών (Imhausen, 2007).

Ο τεχνικός όρος pesfu, είναι μονάδα μέτρησης της έντασης που έχει η μπύρα και δηλώνει πόσα καρβέλια ψωμί ή βάζα μπύρας μπορούν να φτιαχτούν από ένα heqat σιταριού.[1] Συνεπώς, μπορεί να υπολογιστεί ως το πηλίκο του αριθμού των ψωμιών ή των βάζων μπύρας και της ποσότητας των σιτηρών που έχει χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή τους. Τα μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα, δηλαδή, όσο υψηλότερη είναι η τιμή pesfu του ψωμιού ή της μπύρας, τόσο χαμηλότερο είναι το πραγματικό περιεχόμενο του σιταριού. Η τιμή pesfu του ψωμιού είναι συνεχώς 20 (20 ψωμιά έγιναν από 1 heqat σιταριού). Η τιμή pesfu της μπύρας κυμαίνεται μεταξύ 2 και 6. (Imhausen, 2007)

Ο τύπος που χρησιμοποιούμε είναι ο εξής: 

psw_bread =(number of bread loaves (made from 1 heqat of grain))/(1 heqat of grain)=(number of bread loaves)/(amount of grain used for their production)

 psw_beer= (number of vessels of beer (made fron 1 heqat of grain))/(1 heqat of grain)   = (number of vessels of beer )/(amount of grain used for their production)

Ένα παράδειγμα προβλήματος είναι αυτό του 8. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε 100 καρβέλια ψωμί pesfu 20. Αν κάποιος σου πει «Έχεις 100 καρβέλια ψωμί που αντιστοιχούν σε pesfu 20 και θες να το ανταλλάξεις με μπίρα που ισοδυναμεί με pesfu 4, μπίρα είδους ½ ¼ . Πόση μπίρα πρέπει να πάρεις;». Η διαδικασία υπολογισμού είναι ως εξής: πρώτα υπολογίζουμε το σιτάρι που χρησιμοποιείται για να φτιαχτούν 100 καρβέλια ψωμί pesfu 20. 

20= 100/χ=>20χ=100=> χ=100/20=>χ=5 heqat. 

Μετά ψάχνουμε να βρούμε πόσο χρειαζόμαστε για ένα κανάτι μπίρας του είδους ½ ¼ . Το αποτέλεσμα είναι ½ του heqat. Επίσης, ½ των 5 heqat είναι 2 ½ . Τέλος, πολλαπλασιάζουμε το 2 ½ επί το 4 και βρίσκουμε γινόμενο 10 (Clagett, 1999).

Ένα άλλο παράδειγμα προβλήματος είναι το 15. Αν σας πουν, «10 heqat του κριθαριού που φτιάχνει μπύρα pesfu 2. Πράγματι, ενημερώστε με για την ποσότητα της μπύρας.» Θα πρέπει να υπολογίσεις το εν λόγω, 10 φορές το 2, 20 θα έχεις ως αποτέλεσμα. Κοίτα είναι 20 βάζα μπύρας.

Η επόμενη κατηγορία προβλημάτων τα οποία χρήζουν προσοχής είναι τα προβλήματα baku. To 11 και το 23 είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτής της ομοταξίας. Χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουν την απόδοση των εργατών. Το πρόβλημα 11 ρωτάει πόσες σανίδες 4 επί 4 αναλογούν σε κάποιον που έχει 100 σανίδες 5 επί 5. Αντίθετα, το πρόβλημα 23 υπολογίζει την εργατική απόδοση ενός υποδηματοποιού. Με άλλα λόγια, αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού του ρυθμού εργασίας του. «Αν σου πουν το ρυθμό εργασίας ενός τσαγκάρη, αν αυτός (μόνο) κόβει (δερμάτινα σανδάλια), είναι 10 (ζεύγη σανδάλια) ανά ημέρα. Αν αυτός τελειώνει (μόνο) τα σανδάλια, φτιάχνει 5 (ζευγάρια σανδάλια) ανά ημέρα. Πόσο είναι το ποσοστό του έργου του ανά ημέρα, αν κόβει το δέρμα και τελειώνει τα σανδάλια; Πρέπει να υπολογίσεις τα μέρη αυτών των 10 και αυτών των 5. Το συνολικό αποτέλεσμα πρέπει να είναι 3. Πρέπει να διαιρέσεις, στη συνέχεια, το 10 με αυτό. 3 1/3  φορές πρέπει να έχει ως αποτέλεσμα. Κοίτα, είναι 3 1/3  ανά ημέρα. Αυτό που έχει βρεθεί από εσάς είναι σωστό»

Στην κατανόηση του προβλήματος μας βοηθούν οι πληροφορίες που έχουμε ανακτήσει από αρχαιολογικά ευρήματα, αλλά και οι περιγραφές χειροτεχνικών διαδικασιών που έχουν βρεθεί σε τάφους. Το βασικό προϊόν ενός Αιγύπτιου τσαγκάρη, όπως μπορεί να δει κανείς από πολλές παραστάσεις που βρέθηκαν σε τάφους, είναι τα σανδάλια. Η παραγωγή σανδαλιών αποτελείται από την προετοιμασία του δέρματος, την κοπή του και την τελική διαδικασία της κατασκευής του παπουτσιού, το οποίο περιλαμβάνει να συνδέσουν τα κομμάτια δέρματος και τελικά να εφαρμόσουν κάποιου είδους διακόσμηση σε αυτό.

Τέλος, 7 στα 25 είναι προβλήματα γεωμετρίας και δημιουργήθηκαν για να υπολογίσουν μεταξύ των άλλων το εμβαδόν τριγώνων, το εμβαδόν ημισφαιρίων (όπως το πρόβλημα 10) και να εκτιμηθεί ο υπολογισμός του κόλουρου ή αλλιώς της κόλουρης πυραμίδας. 

Για παράδειγμα, το πρόβλημα 10 ζητά, σύμφωνα με κάποιους, τον υπολογισμό του εμβαδού ή ενός ημισφαιρίου ή ενός ημί- κυλίνδρου. Το πιο πιθανό είναι να αναφέρεται στο εμβαδόν ενός ημισφαιρίου, όπως υποστηρίζουν άλλωστε οι Struve και Gillings. Σε αυτό χρησιμοποιείται το παράδειγμα του υπολογισμού ενός καλαθιού. Έχουμε, λοιπόν, ένα καλάθι του οποίου το στόμιο είναι 4½ . Tο ερώτημα που τίθεται είναι «ποιο είναι το εμβαδόν του;» Η λύση που θα μπορούσαμε να δώσουμε είναι η ακόλουθη: παίρνουμε το 1/9 του 9 αφού το καλάθι είναι το μισό μιας σφαίρας. Το αποτέλεσμα είναι ίσο με 1. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το υπόλοιπο που είναι 8, και έπειτα το 1/9 του 8, που μας δίνει το 2/3+1/6+1/18. Εν συνεχεία, πρέπει να βρούμε το υπόλοιπο της αφαίρεσης της παραπάνω πράξης από το 8, το οποίο είναι7+ 1/9 . Μετά, αυτό που βρήκαμε το πολλαπλασιάζουμε με το 4+ 1/2 , δηλαδή θα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 7+ 1/9  x 4+ 1/2 , του οποίου το γινόμενο είναι 32. Το αποτέλεσμα αυτό είναι και το εμβαδόν του καλαθιού που χρησιμοποιήσαμε ως δείγμα (Imhausen, 2007).

Αναφορικά με το πρόβλημα 14, υπολογίζει τον όγκο κόλουρου πυραμίδας. Ένα κόλουρο είναι μια πυραμίδα που μοιάζει με την κανονική πυραμίδα αν της κόψεις την κορυφή. Αν έχει μια τετράγωνη βάση που ονομάζεται πλευρά a, και μια τετράγωνη πάνω επιφάνεια που ονομάζεται πλευρά b, και αν το ύψος του είναι h, τότε όπως οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν αναφέρει ο όγκος κόλουρου πυραμίδας είναι:

(h (a^2 + ab+ b^2 ))/3  

Πρέπει να σημειωθεί ότι αν το b=0 τότε παίρνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου μιας κανονικής πυραμίδας με τετράγωνη βάση (Anglin, 1994).

Η πάνω επιφάνεια της πυραμίδας είναι τετράγωνο με μήκος πλευράς 2, η κάτω επιφάνεια που είναι και αυτό τετράγωνο έχει μήκος πλευράς 4, και με ύψος 6. Ο όγκος αυτής της πυραμίδας ανέρχεται σε 56 κυβικούς πήχεις. Το πρόβλημα είναι το εξής, «Εάν σου πουν: μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, η κάτω επιφάνεια έχει μήκος 4 και η πάνω επιφάνεια έχει μήκος 2. Πάρε το τετράγωνο του 4, θα βρεις 16. Διπλασίασε το 4, θα βρεις 8. Πάρε το τετράγωνο του 2, βρες 4. Πρόσθεσε το 16, το 8 και το 4, βρες 28. Πάρε το 1/3 του 6, βρες 2. Πολλαπλασίασε το με το 28, βρες 56. Επιβεβαίωσε ότι είναι 56. Θα βρεις ότι είναι το σωστό.» (Imhausen, 2007). Ουσιαστικά ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου είναι αυτός που αναφέραμε προηγουμένως. 

[1]Το heqat είναι μονάδα όγκου που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι και αντιστοιχίζεται σε 4,8 λίτρα. (Imhausen, 2007)

Βιβλιογραφία

Ξένη βιβλιογραφία

Anglin W.S., «Mathematics, a concise history and philosophy», εκδ. Springer, New York, 1994.

Bunt L., Jones P., Bedient J., «The historical roots of elementary mathematics», εκδ. Dover Publications INC., New York, 1988.

Clagett M., «Ancient Egyptian Science. A Source Book. Vol. 3 of Ancient Egyptian Mathematics», εκδ. American Philosophical Society, Philadelphia, 1999.

Krebs R. And C., «Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Ancient World (Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions and Discoveries through the Ages)», εκδ. Greenwood Press, London, 2003.

Newman J., «The world of Mathematics. Volume 1.», εκδ. Dover Publications, New York, 2000. Η αυθεντική έκδοση έγινε από τους Simon & Schuster το 1956.

Imhausen A., «Egyptian Mathematics», στο βιβλίο του Katz V., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam. A sourcebook., εκδ. Princeton University Press, New Jersey, 2007.


Πηγές από το Internet
http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/egypt_moscow10.html#anchor2032949

Διαβάστε Περισσότερα